Se existe um assunto tabu na matemática básica, esse assunto é, sem dúvidas, os Produtos Notáveis. Conheço muita gente com uma relação de amor e ódio pelo tema. E se esse é seu caso, vou tratar de deixar esse assunto mais leve para você. Vamos lá?
O Que São Produtos Notáveis
Vamos pensar pelo nome palavra por palavra. Produto é a multiplicação entre dois ou mais fatores. Notável é relevante. Ou seja, são alguns produtos que são tão relevantes o suficiente para serem estudados como um assunto na matemática.
Basicamente existem 5 produtos notáveis que merecem toda nossa atenção. Nós vamos tratar um por um agora. Vamos lá?
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Quadrado da Soma
Quando nos deparamos com uma soma entre dois termos e elevamos essa soma ao quadrado, existe uma regrinha que passa despercebida por muitos estudantes.
O pior erro é achar que o quadrado de uma soma é mesma coisa que elevar cada termo ao quadrado. Desse jeito:
(a +b)² = a² + b² = Atenção! Isso é completamente errado
Primeiro quero resolver a conta na unha, usando a distributiva. Elevar a soma dentro dos parênteses ao quadrado é multiplicar esse parênteses por ele mesmo, então vamos abrir assim:
(a + b)² = (a + b) . (a + b)
Agora podemos aplicar a distributiva. Vamos multiplicar o primeiro elemento “a” do primeiro parênteses pelos outros dois termos. a.a é igual a a² e a.b é igual a ab:
(a + b) . (a + b)
a² + ab
Agora vamos ao segundo termo do primeiro parênteses: b. Quanto é b.a? É ab. E quanto é b.b? É b²:
(a + b) . (a + b)
a² + ab + ab + b²
Vamos juntar os termos semelhantes. ab + ab é 2ab:
(a + b) . (a + b)
a² + ab + ab + b²
a² + 2ab + b²
Pronto! Você descobriu como desenvolver as contas para chegar ao resultado do produto notável quadro da soma.
Porém o assunto produtos notáveis existe para você encurtar esse caminho. Percebeu que o resultado é o quadrado do primeiro termo mais 2 vezes um termo vezes o outros termo mais o quadrado do segundo? Isso é o atalho que justifica estudarmos produtos notáveis.
De agora em diante, quero que você veja o quadrado de uma soma entre dois termos e já logo pense em produtos notáveis.
O quadrado da soma é o primeiro termo ao quadrado mais 2 vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo. Tatua essa frase no seu cérebro. Isso vai te fazer sair de muita enrascada matemática.
Lembra que eu te falei que são cinco os produtos notáveis da matemática? Vamos estudar os outros 4.
Quadrado da Diferença
Assim como podemos ter uma soma nos parênteses, também podemos ter uma diferença (menos) entre os dois termos. O princípio é o mesmo. Vamos resolver pela propriedade distributiva:
(a – b)² = (a – b) . (a – b)
Vamos multiplicar o primeiro “a” pelos dois termos do segundo parênteses. a x a = a² e a x -b = -ab:
(a – b) . (a – b)
a² – ab
Agora foca no “b” do primeiro parênteses. Vamos multiplicar ele pelos outros dois termos. -b x a = -ab e -b x -b = b².
(a – b) . (a – b)
a² – ab – ab + b²
Quanto é -ab – ab? é -2ab:
(a – b) . (a – b)
a² – ab – ab + b²
a² – 2ab + b²
Isso significa que o quadrado da diferença é o primeiro termo ao quadrado menos 2 vezes o primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo. Se quiser, tatue essa frase na sua memória também.
Produto da Soma Pela Diferença
Esse é o produto notável que mistura os dois sinais anteriores. Se no primeiro produto notável é o quadrado da soma, o segundo é o quadrado da diferença. O terceiro produto notável é o produto da soma pela diferença:
(a + b) . (a – b)
Vamos à propriedade distributiva. O “a” multiplicado pelos dois termo do segundo parênteses. a . a = a². Já a . (-b) = -ab.
(a + b) . (a – b)
a² -ab
Vamos ao segundo termo. b . a = ab e b . (-b) = -b². Vamos anotar:
(a + b) . (a – b)
a² -ab + ab – b²
Perceba que no produto notável soma pela diferença podemos anular os dois termos centrais, afinal quanto é -ab + ab? É zero.
(a + b) . (a – b)
a² -ab + ab – b²
a² – b²
Pronto! Essa é a propriedade desse produto notável. O produto da soma pela diferença entre dois termo é o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Simples assim! Sim, é simples assim! Eu sugiro você memorizar essas três propriedades dos produtos notáveis.
São eles: Quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença.
-”Mas você escreveu que há cinco produtos notáveis e até agora só desenvolveu três. Cadê os restantes?”
Esses três produtos anteriores são de longe os mais importantes para o seu estudo. Se você quiser ir mais longe e se tornar mais (ainda) sábio ou sábia, então sugiro entender os próximos também.
Cubo da Soma de Dois Termos
Vamos ao mesmo raciocínio, porém agora a soma está elevada ao cubo.
(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)
Vamos fazer por partes. Primeiro vamos fazer a multiplicação entre os dois primeiros parênteses. Depois pegamos esse resultado e multiplicamos com o terceiro:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
(a² + 2ab + b²) . (a + b)
No segundo passo vamos aplicar a distributiva novamente. Fazendo a multiplicação do primeiro “a”:
(a + b) . (a² + 2ab + b²)
a³ + 2a²b + ab²
Agora vamos à multiplicação do “b”:
(a + b) . (a² + 2ab + b²)
a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
Somando termos semelhantes:
(a + b) . (a² + 2ab + b²)
a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Ainda falta falarmos do cubo da diferença entre dois termos.
Cubo da Diferença Entre Dois Termos
E chegamos à análise do último produto notável da matemática. Quando falamos em cubo da diferença, devemos seguir o mesmo raciocínio lógico e matemático do cubo da soma.
(a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b)
Vamos multiplicar por partes, tal qual foi feito anteriormente.
(a – b) . (a – b) . (a – b)
(a² -2ab + b²) . (a – b)
Agora fazendo a segunda parte da distributiva. Vamos multiplicar pelo primeiro “a”:
(a – b) . (a² – 2ab + b²)
a³ -2a²b + ab²
Agora vamos multiplicar o “b”:
(a – b) . (a² – 2ab + b²)
a³ -2a²b + ab² – a²b +2ab² – b³
Somando termos semelhantes:
a³ -2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³
a³ – 3a²b + 3ab² -b³
O Erro Mais Comum nos Produtos Notáveis
Recentemente eu postei um desafio nas redes sociais Lecionare e pedi o resultado de um desses exemplos acima. Eu queria descobrir se o aluno sabe quanto dá o quadrado da soma.
Automaticamente o estudante desavisado (não é seu caso) sente uma vontade incontrolável para elevar os dois termos ao quadrado. Assim, olha:
(x +y)² = x² + y² >> ISSO ESTÁ ERRADO
Mais acima, você descobriu que não é assim que resolve um quadrado de uma soma entre dois fatores. Lembra qual é a resposta?
Diante dessa pergunta, precisa vir uma voz na sua cabeça dizendo: Quadrado do primeiro termo mais 2 vezes o primeiro vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo. Assim:
(x +y)² = x² + 2xy + y²
E você acredita que muita gente errou? Mas agora você não erra mais.
Agora me diga uma coisa! Passou pela sua cabeça decorar o resultado desses cinco produtos notáveis? Não né! Não foque em apenas decorar. Sugiro fazer alguns exercícios desse assunto até desenvolver a habilidade necessária para olhar um produto notável e saber que é fruto de um desses casos de multiplicação. Mas decorar por decorar, nem pensar.
Entre nós dois: com o tempo você acaba decorando. Mas precisa ser uma coisa natural. Nada de sair lendo 300 vezes por dia.
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Eu te desejo bons estudos, boa sorte e até a próxima.
Tamo Junto Até a Sua Aprovação
